Le traitement des problèmes de dimensions supérieures à deux et avec des frontières complexes a des résultats plus simples et efficaces qu'avec des méthodes dépendants de mailles. Il existe plusieurs façons de classer les méthodes numériques de fonctions radiales de base pour la solution d'équations différentielles partielles. En particulier, elles peuvent être regroupées en deux catégories :
• Méthodes de base radiale:
→ Méthodes globales
→ Méthodes locales
• Méthodes des moindres carrés mobiles

Ce qui distingue ces deux approches est que, dans le cas des méthodes de base radiale, l'ordre de convergence du schéma dépend du type de noyau de base radial, alors que pour les méthodes des moindres carrés mobiles, même quand le noyau est radial, l'ordre de convergence est déterminé par la technique des moindres carrés. En d'autres termes, les méthodes de base radiales héritent de l'ordre de convergence du noyau radial qui le détermine, qui peut être de type exponentiel, alors que les méthodes de moindres carrés mobiles ont un ordre de convergence algébrique indépendant du noyau radial utilisé.

Une autre différence importante est que les méthodes de base radial sont invariantes par rapport à la dimension de l'espace, c'est-à-dire que la nature radiale de la méthode fait que le système algébrique de Gramm correspond à la méthode ayant la même complexité numérique en une, deux ou plus dimensions. En revanche, les méthodes de moindres carrés mobiles, dont la caractérisation dépend d'un réglage numérique, ont une complexité numérique dépendant de la dimension de l'espace euclidien.

D'un autre côté, les méthodes globales de type radial dérivent d'un système algébrique unique d'équations incluant tous les nœuds du domaine, alors que les méthodes des moindes carrés mobiles nous conduisent à un ensemble de systèmes algébriques relativement petits par rapport au nombre total de nœuds. Simultanément, alors que les méthodes de moindres carrés mobiles sont consistants à l'EDP, les méthodes basés en noyaux radiaux en reproduisent pas nécessairement des polynômes et en sont donc pas consistants à l'EDP.

Dans le cas des méthodes globales de fonctions de base radiale, un des principaux problèmes est que le conditionnement de la matrice du système augmente lorsque le nombre de nœuds augmente. Cela en s eproduit pas dans le cas des méthodes de MLS, étant donné que les systèmes locaux en permettent pas de construire des matrices bandes et à diagonales dominantes. Les méthodes locales, cependant, ne peuvent pas gémérer des schémas convergeants exponentiellement, tandis que les globales le peuvent. De plus, il a été développé, pour les méthodes globales, des techniques de décomposition de domaine et de préconditionnement, qui permettent de résoudre des problèmes pour un grand nombre de nœuds.

Les deux approches ont eu un impact important dans différentes disciplines et sont efficacité pour résoudre différents problèmes est une question qui fait l'objet de la recherche actuelle. Parmi les méthodes de ces deux groupes, les plus importantes sont :
Méthodes de base radiale:
• Emplacement symétrique et asymétrique
• Quadrature différentielle
• Méthodes de fonctions radiale à support compact
• Méthodes de solutions fondamentales

Méthodes de moindres carrés mobiles:
• Petro Galerkin sans maille (MLPG)
• Elements finis par partition de l'unité (PUFEM)
• Noyaux reproduits par partition de l'unité (RKPM)
• Hydrodynamique de particules lisses (SPH)

Dans un travail récent, Fasshauer [VII] a introduit une formulation abstraite unifiant les deux approches – pour le cas des noyaux radiaux – dans un cadre commun. En particulier, l'auteur a démontré que les méthodes locales obtenues par les moindres carrés peuvent se transformer en méthodes globales lorsque le nombre de nœuds du support des techniques locales entourent tous les nœuds du domaine.

[I] S. N. Atluri and S. Shen, The Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG) Method, Tech Science Press, Encino, CA, 2002.
[II] M. D. Buhmann, Radial Basis Functions : Theory and Implementations, Cambridge University Press, Cambridge, 2003.
[II] E. W. Cheney and W. A. Light, A Course in Approximation Theory, Brooks/Cole, Pacific Grove, CA, 1999.
[IV] G. R. Liu, Mesh Free Methods: Moving beyond the Finite Element Method, CRC Press, Boca Raton, FL, 2002.
[V] Wendland, H., Scattered Data Approximation, Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, UK., 2005
[VI] G. E. Fasshauer, Meshfree Approximation Methods with Matlab Interdisciplinary Mathematical Sciences - Vol. 6 World Scientific Publishers, Singapore, 2007
[VII] G. E. Fasshauer, Dual Bases and Discrete Reproducing Kernels: A Unified Framework for RBF and MLS Approximation, Engineering Analysis with Boundary Elements, Volume 29, Issue 4, April 2005, pages 313-325

II Apliccation des méthodes de RBF dans différentes disciplines:
1. Mathématiques financières:
L'équation différentielle partielle de Black-Scholes a été fréquemment utilisée pour la modélisation des prix des contrats financiers. Les modèles d'option de tarification en une dimension pour les options américaines et européennes ont été explorées par des méthodes de RBF, par Hon et al. [1,2] et en deux dimensions par Fasshauer et al [3] et par Marcozzi et al. [4]. Ils ont formulé une méthode basée sur des fonctions quasi-radiales en une dimension [5]. Récemment, Petterson et al. [6] ont résolu le problème multi-dimensionnel pour l'option européenne basket call par une méthode d'emplacement asymétrique avec noyau multiquadratique et noeuds adaptés, reportant que ses résultats sont de 20 à 40 fois plus rapides que les résultats obtenus avec des différences finies adaptées.

[1] Y.-C. Hon, X.-Z. Mao, A radial basis function method for solving options pricing models, J. Financial Engineering 8 (1999) 31–49.
[2] Z.Wu, Y.-C. Hon, Convergence error estimate in solving free boundary diffusion problem by radial basis functions method, Engrg. Anal. Bound. Elem. 27 (2003) 73–79.
[3] G. E. Fasshauer, A. Q. M. Khaliq, D. A. Voss, Using meshfree approximation for multi-asset American option problems, J. Chinese Institute Engineers 27 (2004) 563–571.
[4] M. D. Marcozzi, S. Choi, C. S. Chen, On the use of boundary conditions for variational formulations arising in financial mathematics, Appl. Math. Comput. 124 (2001) 197–214.
[5] Y. C. Hon, A quasi-radial basis functions method for American options pricing, Comput. Math. Appl. 43 (3) (2002) 513–524.
[6] Ulrika Pettersson, Elisabeth Larsson, Gunnar Marcusson, and Jonas Persson, Improved Radial Basis Function Methods for Multi-Dimensional Option Pricing, Technical Report 2006-028, Uppsala University, 2006.

Dans [7], N. Flyer et al, le problème de la modélisation du mouvement des flux géophysiques se déplaçcant dans une sphère dominée par des limites connectées est posé. Ceci est le premier ouvrage dans lequel sont résolues des équations différentielles partielles hyperboliques grâce aux fonctions de base radiale. Les auteurs rapportent que le nombre de noeuds requis est inférieur que celui utilisé par des méthodes spectrales. De plus, la méthode RBF permet de passer plus de temps pour obtenir la même précision que celles utilisés par les méthodes spectrales classiques.
Dans Jichun Li [8] , Hon [9] et Wong et al. [10], les équations pour les dépôts en eau peu profonde (shallow water equations) sont résolues par la méthode de placement asymétrique avec noyau multiquadratique, En particulier, dans [20], une étude est réalisée pour le port de Tolo et HongKong, qui est comparée avec des techniques d'éléments finis et des données de terrain, reportées par des supérieurs sur la technique des EF et une excellente coïncidence avec ces données.
[7] N. Flyer and G.B. Wright, Transport schemes on a sphere using radial basis functions. J. Comp. Phys., to appear (2007).
[8] Jichun Li, C.S. Chen, Darrel Pepper, Yitung Chen, "Mesh-free method for groundwater modeling", Boundary Elements XXIV, eds. C.A. Brebbia, A. Tadeu and V. Popov, WIT Press, Southampton, Boston, pp. 115-124 (2002).
[9] Y. C. Hon, K. F. Cheung, X. Z. Mao, and E. J. Kansa, .A Multiquadric Solution for Shallow Water Equations", ASCE J. Hydraulic Engineering, 125, (5), 524-533 (1999).
[10] Wong, S. M., Hon, Y. C., and Golberg, M. A. 2002. Compactly supported radial basis functions for shallow water equations. Appl. Math. Comput. 127, 1 (Mar. 2002), 79-101
La modélisation des écoulements diphasiques et triphasiques est abordée par Hon dans [11] et [12] en utilisant une approche de placement asymétrique eulérien utilisant des multiquadriques. A. Iske et coll. [13] [14] abordent le même problème en développant une méthode semi-lagrangienne qui utilise des noyaux de plaques minces pour la solution des équations de Buckley-Leverett, afin de modéliser des problèmes en deux phases applicables à la récupération primaire des puits en l'industrie pétrolière.
[11] Y. C. Hon, M. W. Lu, W. M. Xue, and X. Zhou, "Multiquadric Method for the Numerical Solution of a Biphasic Model", Internat. J. Appl. Sci. Comput., 88, 153-175 (1997).
[12] Y. C. Hon , M. Lu , M. W. Xue and X. Zhou, "Numerical Algorithm for Triphasic Model of Charged and Hydrated Soft Tissues", Computacional Mechanics, 29(1), , pp 1-15 (2002)
[13] A. Iske and M. Käser: Two-Phase Flow Simulation by AMMoC, an Adaptive Meshfree Method of Characteristics. Computer Modeling in Engineering & Sciences (CMES) 7(2), 2005, 133-148.
[14] J. Behrens, A. Iske, and M. Käser: Adaptive Meshfree Method of Backward Characteristics for Nonlinear Transport Equations, in Meshfree Methods for Partial Differential Equations, M. Griebel and M. A. Schweitzer (eds.), Springer-Verlag, Heidelberg, 2002, 21-36.
Chen et coll. [15] étudient la modélisation du transport des contaminants pour les réservoirs d'eau à l'aide de techniques de placement RBF. L'étude Le numérique comprend plusieurs cas : diffusion pure, advection et dispersion pour une source continue, advection et dispersion pour une source instantanée.
[15] J. Li, Y. Chen and D. Pepper, Radial basis function method for 1-D and 2-D groundwater contaminant transport modeling, Computational Mechanics, (32) 10-15, 2003

La solution de l'équation de Navier Strokes, tant stationnaire que dépendante du temps, a été abordé par Shu, et al. [16] [17] [18], où se résoud le problème de la cavité carrée, Ghia, grâce à la méthode de quadrature différentielle pour les nombre de Reinolds de 10^5.
[16] Shu, C., Khoo, B. C., and Yeo, K. S. 1994. Numerical solutions of incompressible Navier—Stokes equations by generalized differential quadrature. Finite Elem. Anal. Des. 18, 1-3 (Dec. 1994), 83-97.
[17] C. Shu, H. Ding and K. S. Yeo (2005), 'Computation of incompressible Navier-Stokes equations by local RBF-based differential quadrature method', CMES-Computer Modeling in Engineering and Sciences, 7, 195-205.
[18] H. Ding, C. Shu, K. S. Yeo and D. Xu (2006), 'Numerical Computation of Three-dimensional Incompressible Viscous Flows in the Primitive Variable Form by Local Multiquadric Differential Quadrature Method', Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 195, 516-533.
Chinchapatnam et al. [19] ont recherché l'équation non stationnaire de convection diffusion en une ou deux dimensions pour différents nombres de Peclet par un placement symétrique et asymétrique. Le schéma numérique utilise des fonctions radiales globales, telles que les multiquadratiques, multiquadratiques inverses, splines en plaque mince et d'ordre 5. Dans cette étude comparative, les auteurs ont conclu que la méthode symétrique est meilleure que l'asymétrique, et que pour des grands nombres de Peclet il recquièrent une forte densité de noeuds pour obtenir une bonne approximation.
[19] Chinchapatnam, P.P., Djidjeli, K and Nair, P.B. (2006). Unsymmetric and symmetric meshless schemes for the unsteady convection–difusión equation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 195, (19-22), 2432-2453.

Il existe peu de références, aussi loin que nous le savons, sur les algorithmes basés sur les fonctions radiales globales qui résolvent des problèmes d'analyse structurale. , le travail de Ferreira et al. [20] qui aborde le problème des efforts de poutres et plaques déformables, ainsi que le travail de Zhang et al. [21] sur l'élasticité plane. Récemment, Tiago et al. [22] utilisent la méthode de placement asymétrique avec des noyaux radiaux distincts pour résoudre et analyser les problèmes à une dimension comme des problèmes d'élasticité linéaire statique, de vibration libre et analyse linéaire de stabilité, pour des problèmes physiqes non-linéaires de modèles endommagés.
[20] A. J. M. Ferreira, C. M. C. Roque, and P. A. L. S. Martins. Radial basis functions and higher-order shear deformation theories in the analysis of laminated composite beams and plates. Composite Structures, 66(1–4):287–293, 2004.
[21] X. Zhang, K. Z. Song, M. W. Lu, and X. Liu. Meshless methods based on collocation with radial basis functions. Computational Mechanics, 26(4):333–343, 2000.
[22] C. Tiago and V. Leitão, Application of radial basis functions to linear and non-linear structural analysis problems, Computers & Mathematics with Applications, 51(8), 1311-1334, 2006.